Question

给出下列四个命题：
①动点P到A（-5，0）的距离与它到B（5，0）距离的差等于6，则点P的轨迹是双曲线；
②“直线与双曲线只有一个公共点”是“直线与双曲线相切”的必要不充分条件；
③直线l交椭圆3x²+4y²=48于A，B两点，AB的中点为M（2，1），则l的斜率为-

3

2

；
④已知动圆P过定点A（-3，0），并且与定圆B：（x-3）²+y²=64内切，则动圆的圆心P的轨迹是椭圆．
其中正确的命题为

 

（只填正确命题的序号）．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程,简易逻辑

分析：①，深刻理解双曲线的定义，中“双”的含义，可判断①；
②，利用充分必要条件的概念及双曲线中与渐近线平行的直线与双曲线只有一个公共点的性质可判断②；
③，利用“点差法”可求得直线l交椭圆3x²+4y²=48于A，B两点的直线AB的斜率，可判断③；
④，依题意知，动圆的圆心P满足|PA|+|PB|=8＞|AB|=6，利用椭圆的定义，可判断④．

解答： 解：对于①，动点P到A（-5，0）的距离与它到B（5，0）距离的差等于6，则点P的轨迹是双曲线的右支，不是完整的双曲线（两支），故①错误；
对于②，直线与双曲线只有一个公共点，则该直线可能与双曲线相交（与渐近线平行），也可能与双曲线相切，故充分性不成立；
反之，直线与双曲线相切，则直线与双曲线只有一个公共点，正确，即必要性成立；
所以“直线与双曲线只有一个公共点”是“直线与双曲线相切”的必要不充分条件，即②正确；
对于③，直线l交椭圆3x²+4y²=48于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，
则3x₁²+4y₁²=48，3x₂²+4y₂²=48，
两式相减得：3（x₁+x₂）（x₁-x₂）+4（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，AB的中点为M（2，1），
所以，12（x₁-x₂）+8（y₁-y₂）=0，即k=

y1-y2

x1-x2

=-

12

8

=-

3

2

，l的斜率为-

3

2

，即③正确；
对于④，已知动圆P过定点A（-3，0），并且与定圆B：（x-3）²+y²=64内切，则动圆的圆心P满足|PA|+|PB|=8＞|AB|=6，
所以，点P的轨迹是椭圆，即④正确．
故答案为：②③④．

点评：本题考查圆锥曲线的定义与标准方程及性质的综合应用，着重考查双曲线与椭圆的定义的理解与应用，考查“点差法”求直线的斜率，考查转化思想．