Question

18．已知二次函数f（x）=ax²+x（a≠0）．
（1）当a＜0时，若函数$y=\sqrt{f（x）}$定义域与值域完全相同，求a的值；
（2）当a＞0时，求函数g（x）=f（x）-2x-|x-a|的最小值h（a）．

Answer 1

分析 （1）当a＜0时，求出函数$y=\sqrt{f（x）}$定义域与值域，利用定义域与值域完全相同，求a的值；
（2）当a＞0时，分类讨论求函数g（x）=f（x）-2x-|x-a|的最小值h（a）．

解答 解：（1）当a＜0时，$y=\sqrt{f（x）}$定义域为[0，-$\frac{1}{a}$]．
$y=\sqrt{f（x）}$=$\sqrt{a（x+\frac{1}{2a}）^{2}-\frac{1}{4a}}$值域为[0，$\sqrt{-\frac{1}{4a}}$]，
∴$\frac{1}{a}$=$\sqrt{-\frac{1}{4a}}$，∴a=-4；
（2）g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{a{x}^{2}-2x+a，x≥a}\\{a{x}^{2}-a，x＜a}\end{array}\right.$，
①0≤a≤1，$\frac{1}{a}≥a$，x≥a，g（x）_min=g（$\frac{1}{a}$）=a-$\frac{1}{a}$，x＜a，g（x）_min=g（0）=-a，
a-$\frac{1}{a}$≥-a，∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤a≤1，h（a）=-a；
a-$\frac{1}{a}$＜-a，∴0＜a＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$，h（a）=a-$\frac{1}{a}$；
②a＞1，$\frac{1}{a}$＜a，x≥a，g（x）_min=g（a），x＜a，g（x）_min=g（0）=-a，函数在[0，a]上单调递增，
∴h（a）=-a；
综上所述，h（a）=$\left\{\begin{array}{l}{a-\frac{1}{a}，0＜a＜\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{-a，a≥\frac{\sqrt{2}}{2}}\end{array}\right.$．

点评 本题考查函数的定义域与值域，考查函数的最小值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．