Question

已知曲线C上的动点P（x，y）满足到点F（0，1）的距离比到直线l：y=-2的距离小1．
（1）求曲线C的方程；
（2）动点E在直线l上，过点E分别作曲线C的切线EA、EB，切点为A、B．
（i）求证：直线AB恒过一定点，并求出该定点的坐标；
（ii）在直线l上是否存在一点E，使得△ABM为等边三角形（M是线段AB的中垂线与直线l的交点）？若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：轨迹方程,利用导数研究曲线上某点切线方程,恒过定点的直线

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由题意可知，动点P（x，y）的轨迹为以F（0，1）为焦点，以y=-1为准线的抛物线，则抛物线方程可求；
（2）（i）设出E点坐标，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），求出函数导函数，得到切线EA、EB的方程，把E点坐标代入切线方程，可知x₁，x₂是方程

1

4

x2-

x0

2

x-2=0的两根．由根与系数关系得到x₁+x₂=2x₀，x₁x₂=-8．
由两点式写出AB的方程后代入即可证得直线AB恒过一定点（0，2）；
（ii）联立直线好抛物线方程，根据△ABM为等边三角形得到|MN|=

3

2

|AB|，由此求出E点的坐标．

解答： （1）解：由曲线C上的动点P（x，y）满足到点F（0，1）的距离比到直线l：y=-2的距离小1，
可知曲线C上的动点P（x，y）到点F（0，1）的距离与到直线l：y=-1的距离相等．
∴动点P（x，y）的轨迹为以F（0，1）为焦点，以y=-1为准线的抛物线．
方程为x²=4y；
（2）（i）证明：设E（x₀，-2），y′=

x

2

．
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则切线EA：y-y1=

x1

2

(x-x1)，y=

x1

2

x-

1

4

x12．
同理，切线EB：y=

x2

2

x-

1

4

x22．
把E（x₀，-2）代入切线方程得：

1

4

x12-

x0

2

x1-2=0，

1

4

x22-

x0

2

x2-2=0．
则x₁，x₂是方程

1

4

x2-

x0

2

x-2=0的两根．
∴x₁+x₂=2x₀，x₁x₂=-8．
直线AB：y=

x1+x2

4

x-

x1x2

4

=

x0

2

x+2，经过定点（0，2）；
（ii）解：把y=

x0

2

x+2代入x²=4y得到x²-2x₀x-8=0．
则|AB|=2

1+ x02 4

x02+8

，AB中点N(x0，

x02+4

2

)．
设M（m，-2），则

x02+8 2

-m+x0

=-

2

x0

，m=

x03+12x0

4

．
则|MN|=

( x03+8x0 4 )2+( x02+8 2 )2

=

3

2

|AB|=

3

2

•2

1+ x02 4

x02+8

．
解得：x02=4，x₀=±2．
∴E（±2，-2）．

点评：本题考查了轨迹方程的求法，训练了利用导数求过曲线上某点处的切线方程，考查了直线和圆锥曲线的关系，体现了数学转化思想方法，考查了学生的计算能力，是压轴题．