Question

如图，将边长为2的正六边形ABDEF沿对角线BE翻折，连接AC、FD，形成如图所示的多面体，且AC=

6

．
（1）证明：平面ABEF⊥平面BCDE；
（2）求三棱锥E-ABC的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）连结AC、BE，交点为G，由边长为2的正六边形ABCDEF的性质得AC⊥BE，且AG=CG=

3

，由勾股定理得AG⊥GC，从而AG⊥平面BCDE，由此能证明平面ABEF⊥平面BCDE．
（2）连结AE，CE，则AG为三棱锥A-BCE的高，GC为△BCE的高，利用V_E-ABC=V_A-BCE，能求出三棱锥E-ABC的体积．

解答： （1）证明：正六边形ABCDEF中，连结AC、BE，交点为G，
由边长为2的正六边形ABCDEF的性质得AC⊥BE，且AG=CG=

3

，
在多面体中，由AC=

6

，得AG²+CG²=AC²，
∴AG⊥GC，
又GC∩BE=G，GC，BE?平面BCDE，
∴AG⊥平面BCDE，
又AG?平面ABEF，∴平面ABEF⊥平面BCDE．
（2）解：连结AE，CE，则AG为三棱锥A-BCE的高，GC为△BCE的高，
在正六边形ABCDEF中，BE=2AF=4，
∴S△BCE=

1

2

×4×

3

=2

3

，
∴V_E-ABC=V_A-BCE=

1

3

×2

3

×

3

=2．

点评：本小题主要考查空间线面关系、面面垂直的证明、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．