Question

8．函数f（x）=（a+1）tan²x+3sinx+a²-3a-4为奇函数的充要条件是（　　）

• A． a=4
• B． a=-1
• C． a=4或a=-1
• D． a∈R

Answer 1

分析 根据充要条件的定义结合函数奇偶性的性质进行求解即可．

解答 解：∵函数f（x）=（a+1）tan²x+3sinx+a²-3a-4为奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
即（a+1）tan²x-3sinx+a²-3a-4=-[（a+1）tan²x+3sinx+a²-3a-4]，
即（a+1）tan²x+a²-3a-4=-（a+1）tan²x-（a²-3a-4），
则$\left\{\begin{array}{l}{a+1=-（a+1）}\\{{a}^{2}-3a-4=-（{a}^{2}-3a-4）}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{a+1=0}\\{{a}^{2}-3a-4=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{a=4或a=-1}\end{array}\right.$，
则a=-1，
当a=-1时，f（x）=3sinx为奇函数，
则函数f（x）=（a+1）tan²x+3sinx+a²-3a-4为奇函数的充要条件是a=-1，
故选：B

点评 本题主要考查充要条件的求解，根据函数奇偶性的定义建立方程关系是解决本题的关键．