Question

17．函数f（x）=（$\frac{1}{4}$）^x-（$\frac{1}{2}$）^x+1，x∈[2，3]的值域是[$\frac{13}{16}$，$\frac{57}{64}$]．

Answer 1

分析 根据二次函数的性质通过换元求出函数的单调性，从而求出函数的值域．

解答 解：f（x）=（$\frac{1}{4}$）^x-（$\frac{1}{2}$）^x+1=，x∈[2，3]，
令${（\frac{1}{2}）}^{x}$=t，则t∈[$\frac{1}{8}$，$\frac{1}{4}$]，
f（t）=t²-t+1=${（t-\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{3}{4}$，t∈[$\frac{1}{8}$，$\frac{1}{4}$]，
∴f（t）在t∈[$\frac{1}{8}$，$\frac{1}{4}$]递减，
f（t）_min=f（$\frac{1}{4}$）=$\frac{13}{16}$，f（t）_max=f（$\frac{1}{8}$）=$\frac{57}{64}$，
故答案为：[$\frac{13}{16}$，$\frac{57}{64}$]．

点评 本题考查了二次函数的性质，考查换元思想，函数的单调性问题，是一道基础题．