Question

4．已知数列{a_n}为等差数列，公差为d，{b_n}为等比数列，公比为q，a₁=1，a₁+a₃=b₂，2a₂²=b₃
（1）求d与q的函数关系式；
（2）当d=3，且b₁=2；
（I）求{b_n}的通项公式；
（II）若c_n=$\frac{{n}^{2}}{{a}_{n}{b}_{n}+1}$的前n项和为T_n，求证T_n＞$\frac{8}{27}$．

Answer 1

分析 （1）直接由题意列式可得d与q的函数关系式；
（2）（Ⅰ）由等比数列的通项公式得答案；
（Ⅱ）求出数列{a_n}的通项公式，把数列{a_n}、{b_n}的通项公式代入c_n=$\frac{{n}^{2}}{{a}_{n}{b}_{n}+1}$，放缩后利用错误相减法证明．

解答 （1）解：由a₁=1，a₁+a₃=b₂，2a₂²=b₃，
得1+1+2d=b₁q，$2（1+d）^{2}={b}_{1}{q}^{2}$，联立得2（1+d）²=2（1+d）q，
得1+d=q；      
（2）当d=3，且b₁=2时，q=4，b₁=2，
（Ⅰ）解：由等比数列的通项公式可得${b}_{n}=2•{4}^{n-1}={2}^{2n-1}$；
（Ⅱ）证明：a_n=1+3（n-1）=3n-2，
c_n=$\frac{{n}^{2}}{{a}_{n}{b}_{n}+1}$=$\frac{{n}^{2}}{2（3n-2）•{4}^{n-1}+1}$=$\frac{{n}^{2}}{（\frac{3}{2}n-1）•{4}^{n}+1}$＞$\frac{{n}^{2}}{（\frac{3}{2}n-1）•{4}^{n}+{4}^{n}}$=$\frac{{n}^{2}}{\frac{3}{2}n•{4}^{n}}$=$\frac{2}{3}n•\frac{1}{{4}^{n}}$．
∴${T}_{n}=\frac{2}{3}（1•\frac{1}{4}+2•\frac{1}{{4}^{2}}+…+n•\frac{1}{{4}^{n}}）$，①
令${R}_{n}=1•\frac{1}{4}+2•\frac{1}{{4}^{2}}+…+n•\frac{1}{{4}^{n}}$，得：
$\frac{1}{4}{R}_{n}=1•\frac{1}{{4}^{2}}+2•\frac{1}{{4}^{3}}+…+n•\frac{1}{{4}^{n+1}}$，
两式作差得：$\frac{3}{4}{R}_{n}=\frac{1}{4}+\frac{1}{{4}^{2}}+…+\frac{1}{{4}^{n}}-n•\frac{1}{{4}^{n+1}}$=$\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{4}^{n}}）}{1-\frac{1}{4}}-n•\frac{1}{{4}^{n+1}}=\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{4}^{n}}）-n•\frac{1}{{4}^{n+1}}$，
∴${R}_{n}=\frac{4}{9}（1-\frac{1}{{4}^{n}}）-\frac{n}{9}•\frac{1}{{4}^{n}}$，代入①，得${T}_{n}=\frac{8}{27}（1-\frac{1}{{4}^{n}}）-\frac{2n}{27}•\frac{1}{{4}^{n}}$＞$\frac{8}{27}$．

点评 本题是等差数列和等比数列的综合题，考查了等差数列和等比数列的通项公式，训练了错位相减法求数列的和，训练了放缩法证明数列不等式，是中档题．