Question

19．将四个不同颜色的乒乓球随机放入编号分别为1，2，3，4的四个盒子中（每个盒子足够大）．
（1）求编号为1的盒子为空盒的概率；
（2）求空盒的个数ξ的分布列和数学期望E（ξ）．

Answer 1

分析 （1）将四个不同颜色的乒乓球随机放入编号分别为1，2，3，4的四个盒子中，由分步剩法计数原理知共有4⁴种放法，设事件A表示“编号为1的盒子为空盒”，则四个乒乓球可以随机放入编号为2，3，4的三个盒子中，共有3⁴种放法，由此能求出编号为1的盒子为空盒的概率．
（2）空盒的个数ξ的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出空盒的个数ξ的分布列和数学期望E（ξ）．

解答 解：（1）将四个不同颜色的乒乓球随机放入编号分别为1，2，3，4的四个盒子中，
由分步剩法计数原理知共有4⁴=256种放法，
设事件A表示“编号为1的盒子为空盒”，
则四个乒乓球可以随机放入编号为2，3，4的三个盒子中，共有3⁴=81种放法，
故编号为1的盒子为空盒的概率为$P（A）=\frac{81}{256}$．
（2）空盒的个数ξ的所有可能取值为0，1，2，3，
则$P（{ξ=0}）=\frac{A_4^4}{256}=\frac{24}{256}=\frac{3}{32}$，
$P（{ξ=1}）=\frac{C_4^2C_4^3A_3^3}{256}=\frac{144}{256}=\frac{9}{16}$，
$P（{ξ=3}）=\frac{C_4^1}{256}=\frac{4}{256}=\frac{1}{64}$，
$P（{ξ=2}）=\frac{{C_4^1C_4^2A_2^2+\frac{C_4^2C_2^2}{A_2^2}C_4^2A_2^2}}{256}=\frac{84}{256}=\frac{21}{64}$
（或$P（{ξ=2}）=1-P（{ξ=0}）-P（{ξ=1}）-P（{ξ=3}）=\frac{21}{64}$），
所以ξ的分布列为

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{3}{32}$	$\frac{9}{16}$	$\frac{21}{64}$	$\frac{1}{64}$

ξ的数学期望为$E（ξ）=0×\frac{3}{32}+1×\frac{9}{16}+2×\frac{21}{64}+3×\frac{1}{64}=\frac{81}{64}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．