Question

12．设A，B分别是双曲线$\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{20}=1$的两渐近线上的动点，且$|\overrightarrow{AB}|=2\sqrt{5}$，设O为坐标原点，动点P满足$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$，求动点P的轨迹方程．

Answer 1

分析 设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y），由$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$，得x=x₁+x₂=$\frac{\sqrt{5}}{2}$（y₁-y₂），y=y₁+y₂=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$（x₁-x₂），由此利用|AB|=2$\sqrt{5}$，能求出点P的轨迹方程．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y），
∵动点P满足$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$，∴x=x₁+x₂，y=y₁+y₂，
∵A，B分别是双曲线$\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{20}=1$的两渐近线上的动点，
∴y₁=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$x₁，y₂=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$x₂，
∴x=x₁+x₂=$\frac{\sqrt{5}}{2}$（y₁-y₂），y=y₁+y₂=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$（x₁-x₂），
∴|AB|=$\sqrt{（\frac{\sqrt{5}}{2}y）^{2}+（\frac{2}{\sqrt{5}}x）^{2}}$=2$\sqrt{5}$
化简可得P的轨迹方程为$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{16}$=1

点评 本题考查点的轨迹方程的求法，考查韦达定理、向量知识的运用，属于中档题．