Question

椭圆

x2

16

+

y2

4

=1上有两点P、Q，O为原点，若OP、OQ斜率之积为-

1

4

，则|OP|²+|OQ|² 为（　　）

A．4

B．20

C．64

D．不确定

Answer 1

分析：设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）都在椭圆

x2

16

+

y2

4

=1上，由OP、OQ斜率之积为-

1

4

，得出关于P，Q坐标的关系式，|OP|2+|OQ|2=

x

2 1

+

y

2 1

+

x

2 2

+

y

2 2

代入可求出结果．

解答：解：设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）都在椭圆

x2

16

+

y2

4

=1上，
则OP、OQ斜率分别为：

y1

x1

，

y2

x2

．
由OP、OQ斜率之积为-

1

4

，得：

y1

x1

•

y2

x2

=-

1

4

，
即x₁x₂=-4y₁y₂，平方得(x1x2) 2=16(y1y2) 2，
又

y

2 1

=4-

1

4

x

2 1

，

y

2 2

=4-

1

4

x

2 2

，代入上式得：

x

2 1

x

2 2

=16( 4-

1

4

x

2 1

)( 4-

1

4

x

2 2

)，
化简得：

x

2 1

+

x

2 2

=16．
∴|OP|2+|OQ|2=

x

2 1

+

y

2 1

+

x

2 2

+

y

2 2

=

x

2 1

+ 4-

1

4

x

2 1

+

x

2 2

+ 4-

1

4

x

2 2

=

3 4 (x

2 1

+

x

2 2

)+8=12+8=20．
故选B．

点评：本题主要考查了利用直线与圆锥曲线的位置关系的性质求解椭圆的方程，解题中要具备较强的计算能力与逻辑推理能力，主要考查了考查的计算能力．