Question

6．正项数列{a_n}的前n项和S_n满足2S_n=a_na_n+1-1，a₁=a＞0．
（1）若数列{a_n}是等差数列，求S_n；
（2）若数列{a_n}是一个单调递增数列，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的公差为d．由2S_n=a_na_n+1-1，a₁=a＞0．当n≥2时，2S_n-1=a_n-1a_n-1，两式相减可得：2a_n=a_n（a_n+1-a_n-1），a_n+1-a_n-1=2，解得d=1．
当n=1时，2a=a（a+1）-1，解得a=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．即可得出．
（2）由（1）可得：当n≥2时，a_n+1-a_n-1=2，又2a₁=a₁a₂-1，解得a₂=2+$\frac{1}{a}$．（a＞0）．当n=2k-1（k∈N^*）为奇数时，数列{a_n}是一个等差数列，首项为a，公差为2，可得a_n=a_2k-1=a+n-1．当n=2k（k∈N^*）为偶数时，数列{a_n}是一个等差数列，首项为2+$\frac{1}{a}$，公差为2，可得a_n=a_2k=2+$\frac{1}{a}$+n-2．由于数列{a_n}是一个单调递增数列，可得a_2k-1＜a_2k＜a_2k+1．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d．
∵2S_n=a_na_n+1-1，a₁=a＞0．
∴当n≥2时，2S_n-1=a_n-1a_n-1，
两式相减可得：2a_n=a_n（a_n+1-a_n-1），
∵a_n＞0，
∴a_n+1-a_n-1=2，
∴2d=2，解得d=1．
当n=1时，2a=a（a+1）-1，
解得a=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．
∴S_n=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}n$+$\frac{n（n-1）}{2}$=$\frac{{n}^{2}+（\sqrt{5}-2）n}{2}$．
（2）由（1）可得：当n≥2时，a_n+1-a_n-1=2，
又2a₁=a₁a₂-1，即2a=aa₂-1，解得a₂=2+$\frac{1}{a}$．（a＞0）．
∴当n=2k-1（k∈N^*）为奇数时，数列{a_n}是一个等差数列，首项为a，公差为2，
∴a_n=a_2k-1=a+2（k-1）=a+n-1．
当n=2k（k∈N^*）为偶数时，数列{a_n}是一个等差数列，首项为2+$\frac{1}{a}$，公差为2，
∴a_n=a_2k=2+$\frac{1}{a}$+2（k-1）=2+$\frac{1}{a}$+n-2．
∵数列{a_n}是一个单调递增数列，
∴a_2k-1＜a_2k＜a_2k+1，
∴a+2（k-1）＜2+$\frac{1}{a}$+2（k-1）＜a+2k，
解得$1＜a＜1+\sqrt{2}$．
∴a的取值范围是$1＜a＜1+\sqrt{2}$．

点评 本题考查了递推关系的应用、等差数列的通项公式、数列的单调性，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．