Question

9．一个生物研究性学习小组，为了研究平均气温与一天内某豆类胚芽生长之间的关系，他们分别记录了4月6日至4月11日的平均气温x（℃）与该豆类胚芽一天生长的长度y（mm），得到如下数据：

日期	4月6日	4月7日	4月8日	4月9日	4月10日	4月11日
平均气温x（℃）	10	11	13	12	8	6
一天生长的长度y（mm）	22	25	29	26	16	12

该小组的研究方案是：先从这六组数据中选取6日和11日的两组数据作为检验数据，用剩下的4组数据即：7日至10日的四组数据求出线性回归方程．
（1）请按研究方案求出y关于x的线性回归方程$\widehat{y}$=$\widehat{b}$x+$\widehat{a}$；
（2）用6日和11日的两组数据作为检验数据，并判断该小组所得线性回归方程是否理想．（若由线性回归方程得到的估计数据与所选的检验数据的误差不超过1mm，则认为该方程是理想的）
参考公式：$\left\{\begin{array}{l}{\widehat{b}=\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}=\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}}\\{\widehat{a}=\overline{y}-\widehat{b}\overline{x}}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 （1）求出$\overline{x}$，$\overline{y}$，由公式，得$\widehat{b}$的值，从而求出$\widehat{a}$的值，从而得到y关于x的线性回归方程，
（2）由（1）能求出该小组所得线性回归方程是理想的．

解答 解：（1）∵$\overline{x}$=11，$\overline{y}$=24，
∴$\widehat{b}$=$\frac{18}{7}$，
故$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$=-$\frac{30}{7}$，
故y关于x的方程是：$\widehat{y}$=$\frac{18}{7}$x-$\frac{30}{7}$；
（2）∵x=10时，$\widehat{y}$=$\frac{150}{7}$，
误差是|$\frac{150}{7}$-22|=$\frac{4}{7}$＜1，
x=6时，$\widehat{y}$=$\frac{78}{7}$，误差是|$\frac{78}{7}$-12|=$\frac{6}{7}$＜1，
故该小组所得线性回归方程是理想的．

点评 本题考查回归直线方程的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．