Question

如图，A₁，A为椭圆的两个顶点，F₁，F₂为椭圆的两个焦点．
（Ⅰ）写出椭圆的方程；
（Ⅱ）过线段OA上异于O，A的任一点K作OA的垂线，交椭圆于P，P₁两点，直线A₁P与AP₁交于点M．求证：点M在双曲线上．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根据椭圆顶点，焦点坐标，可得a，c的值，从而可求b的值，即可得到椭圆的方程；
（Ⅱ）设K点坐标，表示出直线A₁P，P₁A的方程，求出直线A₁P与AP₁的交点M的坐标，代入双曲线方程，即可得到结论．
解答：（Ⅰ）解：由图可知，a=5，c=4，∴．
∴该椭圆的方程为，
（Ⅱ）证明：设K点坐标（x，0），点P、P₁的坐标分别记为（x，y），（x，-y），
其中0＜x＜5，则，…①
直线A₁P，P₁A的方程分别为：（x+5）y=y（x+5），…②（5-x）y=y（x-5）．…③
②式除以③式得，化简上式得，代入②式得，
于是，直线A₁P与AP₁的交点M的坐标为．
因为．
所以，直线A₁P与AP₁的交点M在双曲线上．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线的交点，考查学生的计算能力，属于中档题．