Question

如图，A₁，A为椭圆的两个顶点，F₁，F₂为椭圆的两个焦点．
（Ⅰ）写出椭圆的方程及准线方程；
（Ⅱ）过线段OA上异于O，A的任一点K作OA的垂线，交椭圆于P，P₁两点，直线A₁P与AP₁交于点M．求证：点M在双曲线上．

Answer 1

【答案】分析：（I）根据图形，确定几何量，即可写出椭圆的方程及准线方程；
（Ⅱ）设出直线A₁P，P₁A的方程，求出直线A₁P与AP₁的交点M的坐标，验证即可．
解答：（Ⅰ）解：由图可知，a=5，c=4，∴．
该椭圆的方程为，
准线方程为．
（Ⅱ）证明：设K点坐标（x，0），点P、P₁的坐标分别记为（x，y），（x，-y），其中0＜x＜5，则，…①
直线A₁P，P₁A的方程分别为：（x+5）y=y（x+5），…②
（5-x）y=y（x-5）．…③
②式除以③式得，化简上式得，代入②式得，
于是，直线A₁P与AP₁的交点M的坐标为．
因为．
所以，直线A₁P与AP₁的交点M在双曲线上．
点评：本小主要考查直线、椭圆和双曲线等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题．