Question

如图，A₁，A为椭圆的两个顶点，F₁，F₂为椭圆的两个焦点．
（Ⅰ）写出椭圆的方程；
（Ⅱ）过线段OA上异于O，A的任一点K作OA的垂线，交椭圆于P，P₁两点，直线A₁P与AP₁交于点M．求证：点M在双曲线

x2

25

-

y2

9

=1上．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据椭圆顶点，焦点坐标，可得a，c的值，从而可求b的值，即可得到椭圆的方程；
（Ⅱ）设K点坐标，表示出直线A₁P，P₁A的方程，求出直线A₁P与AP₁的交点M的坐标，代入双曲线方程，即可得到结论．

解答：（Ⅰ）解：由图可知，a=5，c=4，∴b=

a2-c2

=3．
∴该椭圆的方程为

x2

25

+

y2

9

=1，
（Ⅱ）证明：设K点坐标（x₀，0），点P、P₁的坐标分别记为（x₀，y₀），（x₀，-y₀），
其中0＜x₀＜5，则

x 2 0

25

+

y 2 0

9

=1，…①
直线A₁P，P₁A的方程分别为：（x₀+5）y=y₀（x+5），…②（5-x₀）y=y₀（x-5）．…③
②式除以③式得

x0+5

5-x0

=

x+5

x-5

，化简上式得x=

25

x0

，代入②式得y=

5y0

x0

，
于是，直线A₁P与AP₁的交点M的坐标为(

25

x0

，

5y0

x0

)．
因为

1

25

(

25

x0

)2-

1

9

(

5y0

x0

)2=

25

x 2 0

-

25

x 2 0

(1-

x 2 0

25

)=1．
所以，直线A₁P与AP₁的交点M在双曲线

x2

25

-

y2

9

=1上．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线的交点，考查学生的计算能力，属于中档题．