Question

如图，A₁，A为椭圆的两个顶点，F₁，F₂为椭圆的两个焦点。

（1）写出椭圆的方程及准线方程；
（Ⅱ）过线段OA上异于O，A的任一点K作OA的垂线，交椭圆于P，P₁两点，直线A₁P与AP₁交于点M，求证：点M在双曲线上。

Answer 1

解：（1）由图可知，该椭圆的方程为，所以 该椭圆的方程为 准线方程为。
（2）设K点坐标，点P、P1的坐标分别记为， 其中，则……① 直线A1P，P1A的方程分别为：……② ……③ ②式除以③式得 化简上式得，代入②式得 于是，直线A1P与AP1的交点M的坐标为 因为 所以，直线A1P与AP1的交点M在双曲线上。