Question

【题目】已知 (n∈N*)的展开式中第五项的系数的与第三项的系数的比是10∶1.

(1)求展开式中各项系数的和；

(2)求展开式中含的项；

(3)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）；（3）.

【解析】

（1）已知的展开式中第五项系数与第三项的系数的比是，由此关系建立起方程，求出；(2)由（1) ，利用展开式中项的公式,令的指数为解出,即可得到的项；(3)利用,得出展开式中系数最大的项 .

解：由题意知，第五项系数为C·(－2)4，第三项的系数为C·(－2)2，则，

化简得n2－5n－24＝0，

解得n＝8或n＝－3(舍去)．

(1)令x＝1得各项系数的和为(1－2)8＝1.

(2)通项公式Tr＋1＝C ()8－r＝C (－2)rx－2r，

令－2r＝，则r＝1.

故展开式中含的项为.

(3)设展开式中的第r项，第r＋1项，第r＋2项的系数绝对值分别为C·2r－1，C·2r，C·2r＋1，

若第r＋1项的系数绝对值最大，

则解得5≤r≤6.

又T6的系数为负，所以系数最大的项为T7＝1 792x－11

由n＝8知第5项二项式系数最大，

此时.