Question

【题目】已知函数f（x）是定义域为R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x2+2x．

（1）求f（x）的解析式；

（2）若不等式f（t﹣2）+f（2t+1）＞0成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）f（x）=；（2）（，+∞）．

【解析】

试题（1）运用奇函数的定义，可得x＜0的解析式，进而得到f（x）的解析式；

（2）求出f（x）在R上递增．不等式f（t﹣2）+f（2t+1）＞0即为f（1+2t）＞﹣f（t﹣2）=f（2﹣t），即有1+2t＞2﹣t，解不等式即可得到所求范围．

解：（1）∵函数f（x）是定义域为R上的奇函数，

∴f（x）=﹣f（﹣x）

又∵当x＞0时，f（x）=x2+2x．

若x＞0，则﹣x＜0．f（﹣x）=（﹣x）2+2（﹣x）=x2﹣2x

∴f（x）=﹣f（﹣x）=2x﹣x2．

∴f（x）=；

（2）当x＞0时，f（x）=x2+2x=（x+1）2﹣1，

区间（0，+∞）在对称轴x=﹣1的右边，为增区间，

由奇函数的性质，可得f（x）在R上递增．

不等式f（t﹣2）+f（2t+1）＞0即为

f（1+2t）＞﹣f（t﹣2）=f（2﹣t），

即有1+2t＞2﹣t，解得t＞

则t的取值范围是（，+∞）．