Question

如图甲，在平面四边形ABCD中，已知,,现将四边形ABCD沿BD折起，使平面ABD平面BDC（如图乙），设点E、F分别为棱AC、AD的中点．

（Ⅰ）求证：DC平面ABC；
（Ⅱ）设，求三棱锥A－BFE的体积．

Answer 1

（1）对于线面垂直的证明，一般先证明线线垂直，然后根据DC⊥BC，以及AB⊥CD．来得到。
（2）

解析试题分析：（Ⅰ）证明：在图甲中∵且 ∴ ,
即
在图乙中，∵平面ABD平面BDC ， 且平面ABD平面BDC＝BD
∴AB⊥底面BDC，∴AB⊥CD．
又，∴DC⊥BC,且
∴DC平面ABC．
（Ⅱ）解：∵E、F分别为AC、AD的中点
∴EF//CD，又由（Ⅰ）知，DC平面ABC，
∴EF⊥平面ABC，
∴
在图甲中，∵, ∴,
由得 ,
∴   ∴
∴.
考点：线面垂直，和几何体体积
点评：主要是考查了空间中线面垂直的证明，以及三棱锥的体积的求解，属于基础题。