Question

已知a与b的等差中项为

1

2

，则下列命题正确的是

 

（写出所有正确命题的编号）．
①ab≤

1

4

；
②a²+b²≥

1

2

；
③a⁴+b⁴≤1；
④若a＞0，b＞0，则b+2a≥4

2

ab；
⑤若a≥-

1

2

，b≥-

1

2

，则

2a+1

+

2b+1

≤2

2

．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：由a与b的等差中项为

1

2

，可得a+b=1．
①利用基本不等式的性质即可得出；
②利用2（a²+b²）≥（a+b）²，即可判断出；
③取a=2，b=-1，不成立；
④由a＞0，b＞0，利用“乘1法”与基本不等式的性质即可判断出；
⑤利用

2a+1

+

2b+1

≤

2(2a+1+2b+1)

，即可得出．

解答： 解：∵a与b的等差中项为

1

2

，∴a+b=1．
①当a，b＞0时，1≥2

ab

，∴ab≤

1

4

，当且仅当a=b=

1

2

时取等号，取其它情况时也成立，因此正确；
②∵2（a²+b²）≥（a+b）²=1，∴a2+b2≥

1

2

，当且仅当a=b=

1

2

时取等号，正确；
③取a=2，b=-1，不成立；
④a＞0，b＞0，则(a+b)(

1

a

+

2

b

)=3+

b

a

+

2a

b

≥3+2

b a × 2a b

=3+2

2

，当且仅当b=

2

a=2-

2

时取等号，
∴b+2a≥（3+2

2

）ab≥4

2

ab，因此正确；
⑤∵a≥-

1

2

，b≥-

1

2

，则

2a+1

+

2b+1

≤

2(2a+1+2b+1)

=2

2

，正确．
综上可得：正确的是①②④⑤．
故答案为：①②④⑤．

点评：本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，考查了变形能力，属于基础题．