Question

12．已知9^x-12•3^x+27≤0，求函数y=log₂²x-log₂x+2的值域．

Answer 1

分析 9^x-12•3^x+27≤0，即（3^x）²-12•3^x+27≤0，解得1≤x≤2．t=log₂x∈[0，1]．可得函数y=log₂²x-log₂x+2=$（lo{g}_{2}x-\frac{1}{2}）^{2}$+$\frac{7}{4}$=$（t-\frac{1}{2}）^{2}$+$\frac{7}{4}$=f（t）．利用二次函数的单调性即可得出．

解答 解：9^x-12•3^x+27≤0，即（3^x）²-12•3^x+27≤0，∴（3^x-3）（3^x-9）≤0，
解得1≤x≤2．
∴t=log₂x∈[0，1]．
∴函数y=log₂²x-log₂x+2=$（lo{g}_{2}x-\frac{1}{2}）^{2}$+$\frac{7}{4}$=$（t-\frac{1}{2}）^{2}$+$\frac{7}{4}$=f（t）．
∴f（t）_min=$\frac{7}{4}$，
由f（0）=2=f（1），可得f（t）_max=2．
∴f（t）∈$[\frac{7}{4}，2]$．
即函数y=log₂²x-log₂x+2的值域为$[\frac{7}{4}，2]$．

点评 本题考查了指数函数与二次函数的单调性、换元法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．