Question

2．定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且在[-3，-2]上是减函数，若α，β是锐角三角形的两个内角，则下列不等式中正确的是（　　）

• A． f（cosα）＜f（sinβ）
• B． f（sinα）＜f（cosβ）
• C． f（cosα）＞f（sinβ）
• D． f（sinα）＞f（cosβ）

Answer 1

分析 由题意可知：函数的周期为2，根据偶函数的对称轴及单调性即可求得f（x）在[0，1]上为单调增函数，由α，β是锐角三角形的两个内角，求得α和β的取值范围，根据函数的单调性即可求得答案．

解答 解：由f（x+2）=f（x），
∴函数的周期为2，
∵f（x）在[-3，-2]上为减函数，
∴f（x）在[-1，0]上为减函数，
∵f（x）为偶函数，
∴f（x）在[0，1]上为单调增函数．
∵在锐角三角形中，π-α-β＜$\frac{π}{2}$，
∴α+β＜$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{π}{2}$-β＜α，
∵α，β是锐角，
∴0＜$\frac{π}{2}$-β＜α＜$\frac{π}{2}$，
∴sinα＞sin（$\frac{π}{2}$-β）=cosβ，
∴f（x）在[0，1]上为单调增函数．
∴f（sinα）＞f（cosβ），
故答案选：D．

点评 本题主要考查了函数的奇偶性和周期性的应用，以及三角函数的图象和性质，诱导公式的应用，综合性较强，涉及的知识点较多，属于中档题．