Question

19．f（x）=ax²+bx+c（a≠0）．
（Ⅰ）f（x）=x的二实根x₁，x₂，且0＜x₁＜x₂＜$\frac{1}{a}$对x∈（0，x₁），比较f（x）与x₁的大小；
（Ⅱ）若|f（x）|＜1的解集（-1，3），求a的范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）作差，通过x的范围，判断出f（x）-x₁＜0，从而比较其大小即可；
（Ⅱ）通过讨论a的范围，得到关于a，b，c的不等式组，求出a的范围取并集即可．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）-x=a（x-x₁）（x-x₂），
∴f（x）=a（x-x₁）（x-x₂）+x，
∴f（x）-x₁=a（x-x₁）（x-x₂）+（x-x₁）=（x-x₁）[a（x-x₂）+1]，
∵$0＜{x_1}＜{x_2}＜\frac{1}{a}\;\;\;\;\;∴-\frac{1}{a}＜x-{x_2}＜0$，
∵a＞0∴a（x-x₁）+1＞0x-x₁＜0，
∴f（x）-x₁＜0∴f（x）＜x₁…（6分）
（Ⅱ）①a＞0，ax²+bx+c＜1，
解集（-1，3）且f（x）_min＞-1，
∴$\left\{\begin{array}{l}-1+3=-\frac{b}{a}\\-1×3=\frac{c-1}{a}\end{array}\right.\;\;\;\;\;∴\left\{\begin{array}{l}b=-2a\\ c=-3a+1\end{array}\right.$，
∴f（x）=ax²-2ax+1-3a，
∴f（x）_min=a-2a+1-3a＞-1，
∴$0＜a＜\frac{1}{2}$…（10分）
②若a＜0，则-ax²-bx-c＜1解集（-1，3）且f_max（x）＜1，
∴$\left\{\begin{array}{l}-\frac{b}{a}=-1+3\\ \frac{c+1}{a}=-1×3\end{array}\right.\;\;\;\;\;\left\{\begin{array}{l}b=-2a\\ c=-3a=1\end{array}\right.$，
∴f（x）=ax²-2ax-3a-1，
∴f（x）_max=a-2a-3a-1＜1，
∴$-\frac{1}{2}＜a＜0$
综上述$-\frac{1}{2}＜a＜0$或$0＜a＜\frac{1}{2}$…（12分）

点评 本题考查了二次函数的性质，考查分类讨论思想，是一道中档题．