Question

5．已知四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁的上下底面分别是边长为2和4的正方形，AA₁=4且AA₁⊥底面ABCD，点P为DD₁的中点．
（Ⅰ）求证：AB₁⊥面PBC；
（Ⅱ）在BC边上找一点Q，使PQ∥面A₁ABB₁，并求三棱锥Q-PBB₁的体积．

Answer 1

分析 （1）取AA₁中点M，连结BM，PM，则PM∥AD∥BC，于是BM?平面PBC．由AA₁⊥面ABCD得AA₁⊥BC，又AB⊥BC，于是BC⊥平面ABB₁A₁，故BC⊥AB₁．由△ABM≌△A₁AB₁得BM⊥AB₁，所以AB₁⊥面PBC；
（2）由PM=3可知当BQ=3时，四边形PMQB是平行四边形，故PQ∥BM，于是PQ∥平面B₁A₁AB，棱锥B₁-PQB的底面△PQB是直角三角形．高为B₁N．

解答 解（1）取AA₁中点M，连结BM，PM，
在PM∥AD∥BC，∴BM?平面PBC．
∵AA₁⊥面ABCD，BC?面ABCD，∴AA₁⊥BC，
∵ABCD是正方形，∴AB⊥BC，
又AB?平面ABB₁A₁，AA₁?平面ABB₁A₁，AB∩AA₁=A，
∴BC⊥平面ABB₁A₁，∵AB₁?平面ABB₁A₁，
∴BC⊥AB₁．
∵AB=AA₁=4，∠BAM=∠B₁A₁A=90°，AM=B₁A₁=2，
∴△ABM≌△A₁AB₁，∴∠MBA=∠B₁AA₁，
∵∠BAB₁+∠B₁AA₁=90°，∴∠MBA+∠BAB₁=90°，
∴BM⊥AB₁，
∵BM?平面PBC，BC?平面PBC，BM∩BC=B，
∴AB₁⊥面PBC．
（2）在BC边上取一点Q，使BQ=3，
∵PM为梯形ADD₁A₁的中位线，A₁D₁=2，AD=4，
∴PM=3，PM∥AD，又∵BQ∥AD，
∴PM$\stackrel{∥}{=}$BQ，
∴四边形PMBQ是平行四边形，
∴PQ∥BM，又BM?平面A₁ABB₁，PQ?平面A₁ABB₁，
∴PQ∥平面A₁ABB₁．
∵BC⊥平面ABB₁A₁，BM?平面ABB₁A₁，
∴BQ⊥BM，
∵AB=AA₁=4，AM=A₁B₁=2，∴BM=AB₁=2$\sqrt{5}$，
设AB₁∩BM=N，则AN=$\frac{AB•AM}{BM}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．∴B₁N=AB₁-AN=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$．
∴V${\;}_{{B}_{1}-BPQ}$=$\frac{1}{3}$S_△BPQ•B₁N=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×3×2\sqrt{5}×\frac{6\sqrt{5}}{5}$=6．

点评 本题考查了线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．