Question

14．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＜CD，AB=10，BC=3．
（1）如果M为AB上一点，且满足∠DMC=∠A，求AM的长；
（2）如果点M在AB边上移动（点M与A，B不重合），且满足∠DMN=∠A，MN交BC延长线于N，设AM=x，CN=y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）构建图形，根据条件，利用△ADM∽△BMC，列出比例关系，求出答案；
（2）利用相似△ADM∽△BMN，得出相似比，根据题意得出函数表达式，结合（2）得出x的范围．

解答 解：（1）如图1，设AM的长为x，
∵AB∥CD，AD=BC，
∴∠A=∠B．
又∵∠A=∠DMC，∠1+∠2+∠A=∠2+∠DMC+∠3=180°，
∴∠1=∠3，∴△ADM∽△BMC．
∴$\frac{AM}{BC}=\frac{AD}{BM}$，即$\frac{x}{3}=\frac{3}{10-x}$，
解之得x₁=1，x₂=9，
经检验都是原分式方程的根．
∴AM=1或9…．（6分）


（2）由（1）可证得△ADM∽△BMN，
∴$\frac{AM}{BN}=\frac{AD}{BM}$，即$\frac{x}{y+3}=\frac{3}{10-x}$，
∴y=-$\frac{1}{3}$ x²+$\frac{10}{3}$ x-3，
所以y关于x的函数关系式为
y=-$\frac{1}{3}$ x²+$\frac{10}{3}$ x-3（1≤x≤9）．…．（12分）

点评 考察了函数的模型应用，难点是对题意的理解，把实际问题转换为函数问题．