题目内容

已知三条直线l₁：mx-y+m=0，l₂：x+my-m（m+1）=0，l₃：（m+1）x-y+（m+1）=0，它们围成△ABC．
（I）求证：不论m取何值时，△ABC中总有一个顶点为定点；
（II）当m取何值时，△ABC的面积取最大值、最小值？并求出最值．

解：（1）根据题意得 l₁，l₃交于A（-1，0）l₂，l₃交于B（0，m+1）
∴不论m取何值时，△ABC中总有一个顶点为定点（-1，0）
（2）从条件中可以看出l₁、l₂垂直
∴角C为直角，
∴S= $\text{[math]}$ |AC|•|BC|
|BC|等于点（0，m+1）到l₁的距离d= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
|AC|等于（-1，0）到l₂的距离d= $\text{[math]}$
S= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ [1+ $\text{[math]}$ ]
当m＞0时， $\text{[math]}$ 有最大值 $\text{[math]}$
同理，当m＜0时， $\text{[math]}$ 有最小- $\text{[math]}$
所以m=1时S取最大值为 $\text{[math]}$ m=-1时S取最小值 $\text{[math]}$
分析：（1）联立方程得出l₁，l₃交于A（-1，0），l₂，l₃交于B（0，m+1）从而可以证明结论．
（2）首先根据条件得出角C为直角，从而得出S= $\text{[math]}$ |AC|•|BC|，再利用点到直线的距离公式得出BC= $\text{[math]}$ ，AC= $\text{[math]}$ ，然后利用均值不等式求出， $\text{[math]}$ 的最值，即可得出结果．
点评：本题考查了两条直线的交点坐标以及基本不等式的最值问题，此题有一定难度，属于中档题．