Question

已知三条直线l₁：mx-y+m=0，l₂：x+my-m（m+1）=0，l₃：（m+1）x-y+（m+1）=0，它们围成△ABC．
（Ⅰ）求证：不论m取何值时，△ABC中总有一个顶点为定点；
（Ⅱ）当m取何值时，△ABC的面积取最大值、最小值？并求出最值．

Answer 1

分析：（1）联立方程得出l₁，l₃交于A（-1，0），l₂，l₃交于B（0，m+1）从而可以证明结论．
（2）首先根据条件得出角C为直角，从而得出S=

1

2

|AC|•|BC|，再利用点到直线的距离公式得出BC=

1

m2+1

，AC=

m2+m+1

m2+ 1

，然后利用均值不等式求出，

1

m+ 1 m

的最值，即可得出结果．

解答：解：（1）根据题意得 l₁，l₃交于A（-1，0）l₂，l₃交于B（0，m+1）
∴不论m取何值时，△ABC中总有一个顶点为定点（-1，0）
（2）从条件中可以看出l₁、l₂垂直
∴角C为直角，
∴S=

1

2

|AC|•|BC|
|BC|等于点（0，m+1）到l₁的距离d=

|-m-1+m|

m2+1

=

1

m2+1

|AC|等于（-1，0）到l₂的距离d=

m2+m+1

m2+ 1

S=

1

2

×

m2+m+1

m2+1

=

1

2

[1+

1

m+ 1 m

]
当m＞0时，

1

m+ 1 m

有最大值

1

2

同理，当m＜0时，

1

m+ 1 m

有最小-

1

2

所以m=1时S取最大值为

3

4

m=-1时S取最小值

1

4

点评：本题考查了两条直线的交点坐标以及基本不等式的最值问题，此题有一定难度，属于中档题．