Question

3．已知函数$f（x）=a（2{cos^2}\frac{x}{2}+sinx）+b$（a＞0）
（1）求f（x）的单调增区间；
（2）当x∈[0，π]时，f（x）值域为[3，4]，求a，b的值．

Answer 1

分析 （1）降次化简，结合三角函数的图象及性质即可求出f（x）的单调增区间；
（2）当x∈[0，π]时，求出f（x）值域，即可得a，b的值．

解答 解：函数$f（x）=a（2{cos^2}\frac{x}{2}+sinx）+b$（a＞0）
化简可得：f（x）=asinx+acosx+b+a=$\sqrt{2}a$sin（x+$\frac{π}{4}$）+a+b．
令$-\frac{π}{2}+2kπ≤x+\frac{π}{4}≤\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z．
可得：$2kπ-\frac{3π}{4}$≤x≤$\frac{π}{4}+2kπ$．
∴f（x）的单调增区间为[$2kπ-\frac{3π}{4}$，$\frac{π}{4}+2kπ$]，k∈Z．
（2）当x∈[0，π]时，
可得：$x+\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$]．
∴当x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$时，函数f（x）取得最大值为$\sqrt{2}a+a+b$．
∴当x+$\frac{π}{4}$=$\frac{5π}{4}$时，函数f（x）取得最小值为$-\frac{\sqrt{2}}{2}×\sqrt{2}a+a+b$．
由题意，可得：$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{2}a+a+b=4}\\{-\frac{\sqrt{2}}{2}×\sqrt{2}a+a+b=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\sqrt{2}-1}\\{b=3}\end{array}\right.$．
故得当x∈[0，π]时，f（x）值域为[3，4]，此时a的值为$\sqrt{2}-1$，b的值为3．

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．