题目内容

正项数列{an}的前n项和为Sn，且．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：．
【答案】分析：（Ⅰ）根据求得a1，进而根据4Sn=（an+1）2和4Sn-1=（an-1+1）2（n≥2）两式相减整理得（an+an-1）（an-an-1-2）=0，进而可得an-an-1=2判断出数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列．求得其通项公式．
（Ⅱ）把（1）中求得的an代入中，即可求得bn，进而可用裂项法进行求和，得Tn=根据使原式得证．
解答：解：（Ⅰ）∵，
∴a1=1．
∵an＞0，，
∴4Sn=（an+1）2．①
∴4Sn-1=（an-1+1）2（n≥2）．②
①-②，得4an=an2+2an-an-12-2an-1，
即（an+an-1）（an-an-1-2）=0，
而an＞0，
∴an-an-1=2（n≥2）．
故数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列．
∴an=2n-1．
（Ⅱ）．
Tn=b1+b2++bn==．
点评：本题主要考查了数列的求和问题．数列的求和问题是高考中常考的题目，所以我们平时的时候应注意多积累数列求和的方法．
练习册系列答案
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设正项数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn=n2．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设bn=
1
(an+1)(an+1+1)
，求数列{bn}的前n项的和Tn．
（3）是否存在自然数m，使得
m-2
4
＜Tn＜
m
5
对一切n∈N*恒成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
设正项数列{an}的前n项和为Sn，且a1=2，an+1=2Sn+2（n∈N*），
（1）求a2以及数列{an}的通项公式；
（2）在an与an+1之间插入n个数，使这n个数组成一个公差为dn的等差数列．
（ⅰ）求证：
1
d1
+
1
d2
+
1
d3
+…+
1
dn
＜
15
16
（n∈N*）；
（ⅱ）求证：在数列{dn}中不存在三项dm，ds，dt成等比数列．（其中m，s，t依次成等比数列）
设Sn是正项数列{an}的前n项和且Sn= 
1
2
an2+
1
2
an-1．
（1）求an；  
（2）若bn=2n求Tn=a1b1+a2b2+…+anbn的值．
已知正项数列{an}的前n项和sn=
an2+an
2
，bn=(1+
1
2an
)an(n∈N*)．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）定理：若函数f（x）在区间D上是凹函数，且f'（x）存在，则当x1＞x2（x1，x2∈D）时，总有
f(x1)-f(x2)
x1-x2
＜f′(x1)，请根据上述定理，且已知函数y=xn+1（n∈N*）是（0，+∞）上的凹函数，判断bn与bn+1的大小；
（Ⅲ）求证：
3
2
≤bn＜2．
设首项为1的正项数列{an}的前n项和为Sn，数列{an2}的前n项和为Tn，且Tn=
4-(Sn-p)23
，其中p为常数．
（1）求p的值；
（2）求证：数列{an}为等比数列；
（3）证明：“数列an，2xan+1，2yan+2成等差数列，其中x、y均为整数”的充要条件是“x=1，且y=2”．

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