Question

设正项数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=2，a_n+1=2S_n+2（n∈N^*），
（1）求a₂以及数列{a_n}的通项公式；
（2）在a_n与a_n+1之间插入n个数，使这n个数组成一个公差为d_n的等差数列．
（ⅰ）求证：

1

d1

+

1

d2

+

1

d3

+…+

1

dn

＜

15

16

（n∈N^*）；
（ⅱ）求证：在数列{d_n}中不存在三项d_m，d_s，d_t成等比数列．（其中m，s，t依次成等比数列）

Answer 1

分析：（1）由a₁=2，a_n+1=2S_n+2（n∈N^*），知a₂=2S₁+2=6，由a_n+1=2S_n+2，得a_n+2=2S_n+1+2，由此能求出an=2•3n-1．
（2）（ⅰ）由题意可知dn=

2×3n-2×3n-1

n+1

=

4×3n-1

n+1

，

1

dn

=

n+1

4×3n-1

，通过错项相减能够证明

1

d1

+

1

d2

+

1

d3

+…+

1

dn

＜

15

16

（n∈N^*）．
（ⅱ）假设数列{d_n}中存在三项d_m，d_s，d_t成等比数列，则

d

2 s

=dm•dt，推导出m=s=t，由题设知m=s=t不成立，故在数列{d_n}中不存在三项d_m，d_s，d_t成等比数列．

解答：解：（1）∵a₁=2，a_n+1=2S_n+2（n∈N^*），
∴a₂=2S₁+2=2×2+2=6，
由a_n+1=2S_n+2，
得a_n+2=2S_n+1+2，
两式相减得a_n+2=3a_n+1，
又a₂=3a₁，且a_n≠0，
所以数列{a_n}是等比数列，
且a₁=2，q=3，
∴an=2•3n-1．
（2）（ⅰ）由题意可知
dn=

2×3n-2×3n-1

n+1

=

4×3n-1

n+1

，

1

dn

=

n+1

4×3n-1

，
通过错项相减求得

1

d1

+

1

d2

+

1

d3

+…+

1

dn

=

15

16

-

1

16

×(

1

3

)n-2-

n+1

3n-1

＜

15

16

；
（ⅱ）假设数列{d_n}中存在三项d_m，d_s，d_t成等比数列，
则

d

2 s

=dm•dt，
即(

4×3s-1

s+1

)2=

4×3m-1

m+1

•

4×3t-1

t+1

，
整理，得（

16×32s-2

s2+2s+1

=

16×3m+t-2

mt+(m+t)+1

，
∴

m+t=2s mt=s2

，
∴m，s，t依次成等比数列，且m，s，t依次成等差数列，
∴m=s=t，
∵an=2•3n-1，在a_n与a_n+1之间插入n个数，使这n个数组成一个公差为d_n的等差数列，
∴m=s=t不成立，
∴在数列{d_n}中不存在三项d_m，d_s，d_t成等比数列．

点评：本题考查数列的通项公式的证明，考查不等式的证明和数列不可能是等比数列的证明．解题时要认真审题，仔细解答，注意错位相减法和反证法的合理运用．