Question

设首项为1的正项数列{a_n}的前n项和为S_n，数列{an2}的前n项和为T_n，且Tn=

4-(Sn-p)2

3

，其中p为常数．
（1）求p的值；
（2）求证：数列{a_n}为等比数列；
（3）证明：“数列a_n，2^xa_n+1，2^ya_n+2成等差数列，其中x、y均为整数”的充要条件是“x=1，且y=2”．

Answer 1

分析：（1）n=1时，由1=

4-(1-p)2

3

求得p的值，再排除p=0的情形即可得到结论；
（2）当p=2时，Tn=

4

3

-

1

3

(2-Sn)2，再写一式，两式相减可得3a_n+1=4-S_n+1-S_n，再写一式，两式相减，可得数列{a_n}是等比数列；
（3）分充分性与必要性分别证明，必须搞清证明中的条件与结论．

解答：（1）解：n=1时，由1=

4-(1-p)2

3

得p=0或2，
若p=0时，Tn=

4-Sn2

3

，
当n=2时，1+a22=

4-(1+a2)2

3

，解得a₂=0或a2=-

1

2

，
而a_n＞0，所以p=0不符合题意，故p=2；
（2）证明：当p=2时，Tn=

4

3

-

1

3

(2-Sn)2①，则Tn+1=

4

3

-

1

3

(2-Sn+1)2②，
②-①并化简得3a_n+1=4-S_n+1-S_n③，则3a_n+2=4-S_n+2-S_n+1④，
④-③得an+2=

1

2

an+1（n∈N^*），
又因为a2=

1

2

a1，所以数列{a_n}是等比数列，且an=

1

2n-1

；
（3）证明：充分性：若x=1，y=2，由an=

1

2n-1

知a_n，2^xa_n+1，2^ya_n+2依次为

1

2n-1

，

2

2n

，

4

2n+1

，
满足2×

2

2n

=

1

2n-1

+

4

2n+1

，即a_n，2^xa_n+₁，2^ya_n+₂成等差数列；
必要性：假设a_n，2^xa_n+1，2^ya_n+2成等差数列，其中x、y均为整数，又an=

1

2n-1

，
所以2•2x•

1

2n

=

1

2n-1

+2y•

1

2n+1

，化简得2^x-2^y-2=1
显然x＞y-2，设k=x-（y-2），
因为x、y均为整数，所以当k≥2时，2^x-2^y-2＞1或2^x-2^y-2＜1，
故当k=1，且当x=1，且y-2=0时上式成立，即证．

点评：本题主要考查等差、等比数列的定义与通项公式、求和公式等基础知识，考查灵活运用基本量进行探索求解、推理分析能力．