Question

设正项数列{a_n}的前n项和为S_n，满足S_n=n²．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=

1

(an+1)(an+1+1)

，求数列{b_n}的前n项的和T_n．
（3）是否存在自然数m，使得

m-2

4

＜T_n＜

m

5

对一切n∈N^*恒成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）再写一式，两式相减，可得数列{a_n}的通项公式；
（2）利用裂项法，可求数列的和；
（3）先确定

1

8

≤T_n＜

1

4

，再根据

m-2

4

＜T_n＜

m

5

对一切n∈N^*恒成立，建立不等式，即可求得m的值

解答：解：（1）∵S_n=n²，∴当n=1时，a₁=S₁=1；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n-1
a₁=1满足上式，∴a_n=2n-1；
（2）由b_n=

1

(an+1)(an+1+1)

=

1

4

•

1

n(n+1)

=

1

4

(

1

n

-

1

n+1

)
∴T_n=

1

4

（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）=

1

4

（1-

1

n+1

）=

n

4(n+1)

．
（3）T_n+1-T_n=

n+1

4(n+2)

-

n

4(n+1)

=

1

4(n+1)(n+2)

＞0，∴{T_n}单调递增，∴T_n≥T₁=

1

8

∵T_n=

1

4

（1-

1

n+1

）＜

1

4

，∴

1

8

≤T_n＜

1

4

使得

m-2

4

＜T_n＜

m

5

对一切n∈N^*恒成立，则

1 4 ≤ m 5 m-2 4 ＜ 1 8

∴

5

4

≤m＜

5

2

∵m是自然数，∴m=2．

点评：本题考查数列的通项与求和，考查恒成立问题，求得数列的通项与和是关键．