Question

设实数a，b满足2a+b=9．
（i）若|9-b|+|a|＜3，求x的取值范围；
（ii）若a，b＞0，且z=a²b，求z的最大值．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（i）由题意可得|9-b|=2|a|，不等式|9-b|+|a|＜3可化为|a|＜1，由此解得a的范围．
（ii）因为a，b＞0，2a+b=9，再根据z=a²b=a•a•b，利用基本不等式求得它的最大值．

解答： 解：（i）由2a+b=9得9-b=2a，即|9-b|=2|a|．
所以|9-b|+|a|＜3可化为3|a|＜3，即|a|＜1，解得-1＜a＜1．
所以a的取值范围-1＜a＜1．
（ii）因为a，b＞0，2a+b=9，
所以z=a2b=a•a•b≤(

a+a+b

3

)3=(

2a+b

3

)3=33=27，当且仅当a=b=3时，等号成立．
故z的最大值为27．…（7分）

点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，基本不等式的应用，体现了转化的数学思想，属于基础题．