Question

4．已知函数f（x）=$\frac{ax}{{e}^{x}}-x-\frac{1}{x}$（α∈R）在（0，+∞）上有两个零点，求a的取值范围．

Answer 1

分析 对a进行讨论，判断f（x）的单调性，根据零点个数得出f（x）的极大值大于零，即可解出a的范围．

解答 解：令f（x）=0得$\frac{ax}{{e}^{x}}=x+\frac{1}{x}$，
当a≤0时，显然$\frac{ax}{{e}^{x}}≤0$在（0，+∞）恒成立，而x+$\frac{1}{x}$≥2在（0，+∞）上恒成立，
故方程$\frac{ax}{{e}^{x}}=x+\frac{1}{x}$无解，即f（x）在（0，+∞）上无零点，不符合题意．
当a＞0时，f′（x）=$\frac{a（1-x）}{{e}^{x}}$-1+$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{（1-x）（a{x}^{2}+（1+x）{e}^{x}）}{{e}^{x}•{x}^{2}}$，
∵ax²+（1+x）e^x＞0在（0，+∞）上恒成立，
∴当0＜x＜1时，f′（x）＞0，当x＞1时，f′（x）＜0．
∴f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
且$\underset{lim}{x→0+}$f（x）=-∞，$\underset{lim}{x→+∞}$f（x）=-∞，
∵f（x）有两个零点，∴f（1）＞0，
即$\frac{a}{e}-2＞0$，解得a＞2e．

点评 本题考查了函数零点的个数与函数单调性的关系，函数单调性的判断，属于中档题．