Question

若函数f（x）=log_a（a-x）（x-a-2）（a＞0，a≠1）在区间（2，

5

2

）内单调递减，则a的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：复合函数的单调性

专题：函数的性质及应用

分析：由题意得t=（a-x）（x-a-2）＞0，求得函数的定义域为（a，a+2）．再求出二次函数t在定义域上的单调区间，分类讨论求得f（x）的单调区间，结合f（x）在区间（2，

5

2

）内单调递减，求得a的范围．

解答： 解：由题意可得，a＞0，a≠1，且t=（a-x）（x-a-2）＞0，求得a＜x＜a+2，故函数的定义域为（a，a+2），f（x）=log_at．
由于二次函数t在定义域上的增区间为（a，a+1]，减区间为（a+1，a+2），
当a＞1时，则由题意可得f（x）的增区间为（a，a+1]，∴a≤2，且

5

2

≤a+1，求得

3

2

≤a≤2．
当0＜a＜1时，则由题意可得f（x）的增区间为（a+1，a+2），∴a+1≤2，且

5

2

≤a+2，求得

1

2

≤a＜1．
综上可得，a的范围为（

3

2

，2]∪[

1

2

，1），
故答案为：（

3

2

，2]∪[

1

2

，1）．

点评：本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．