题目内容
2．已知向量$\overrightarrow{a}$=（2cosθ，2sinθ），向量$\overrightarrow{b}$=（sin（30°-θ），cos（30°-θ）），向量$\overrightarrow{c}$满足向量$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$与向量$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{b}$的夹角为60°，则|$\overrightarrow{c}$|的最大值是2．分析 因为向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{b}$|=1，可得两向量的夹角为60°，在平面内作出向量$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$，使|$\overrightarrow{OA}$|=2，|$\overrightarrow{OB}$|=1，且两向量的夹角为60°，作出向量$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{c}$，由向量减法的几何意义得向量$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$与$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{b}$，再由$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$与$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{b}$的夹角为60°，可得对应的O、A、C、B四点共圆，从而可知|$\overrightarrow{c}$|的最大值为O、A、C、B四点共圆的圆的直径2R．然后运用正弦、余弦定理定理可求三角形ABC的外接圆的半径2R的值．
解答 
解：作$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{c}$，
向量$\overrightarrow{a}$=（2cosθ，2sinθ），向量$\overrightarrow{b}$=（sin（30°-θ），cos（30°-θ）），
则|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{b}$|=1，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=2[cosθsin（30°-θ）+sinθcos（30°-θ）]=2sin30°=1，
cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{1}{2}$，可得两向量的夹角为60°，
又$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{CA}$，$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{BC}$，
由$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$与$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{b}$的夹角为60°，
得$\overrightarrow{CA}$与$\overrightarrow{BC}$的夹角为60°，则∠BCA=120°，
因为∠AOB+∠BCA=60°+120°=180°，
所以O、A、C、B四点共圆．
所以|$\overrightarrow{c}$|的最大值为O、A、C、B四点共圆的圆的直径2R．
在三角形OAB中，因为|$\overrightarrow{OA}$|=2，|$\overrightarrow{OB}$|=1，∠AOB=60°，
所以|AB|=$\sqrt{4+1-2×2×1×\frac{1}{2}}$=$\sqrt{3}$，
所以2R=$\frac{|AB|}{sin60°}$=$\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2．
所以|$\overrightarrow{c}$|的最大值为2．
故答案为：2．
点评 本题考查向量的数量积的定义和夹角公式，同时考查正弦定理和余弦定理的运用，属于中档题．
| A． | 是奇函数，在（0，+∞）上是减函数 | B． | 是偶函数，在（0，+∞）上是减函数 | ||
| C． | 是奇函数，在（-∞，0）上是增函数 | D． | 是偶函数，在（-∞，0）上是减函数 |