Question

2．设△ABC的三个内角为A，B，C，向量$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$sinA，sinB），$\overrightarrow{n}$=（cosB，$\sqrt{3}$cosA），若$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=1-cos（A+B），则C等于（　　）

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{3}$
• C． $\frac{2π}{3}$
• D． $\frac{5π}{6}$

Answer 1

分析 由平面向量数量积的坐标运算结合辅助角公式化积，可得$sin（C-\frac{π}{6}）=\frac{1}{2}$．进一步求得C得答案．

解答 解：∵$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$sinA，sinB），$\overrightarrow{n}$=（cosB，$\sqrt{3}$cosA），
∴$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=$\sqrt{3}sinAcosB+\sqrt{3}cosAsinB=\sqrt{3}sin（A+B）$，
又$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=1-cos（A+B），∴$\sqrt{3}sin（A+B）=1-cos（A+B）$，
得$\sqrt{3}sinC-cosC=1$，即2$sin（C-\frac{π}{6}）=1$，
∴$sin（C-\frac{π}{6}）=\frac{1}{2}$．
∵$-\frac{π}{6}＜C-\frac{π}{6}＜\frac{5π}{6}$，∴$C-\frac{π}{6}=\frac{π}{6}$，则C=$\frac{π}{3}$．
故选：B．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了三角函数中的恒等变换应用，是中档题．