题目内容

设抛物线y²=2x的焦点为F，过点 $数学公式$ 的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于C，|BF|=2，则△BCF与△ACF的面积之比 $数学公式$ =________．

$\text{[math]}$
分析：利用三角形面积公式，可把△BCF与△ACF的面积之比转化为BC长与AC长的比，再根据抛物线的焦半径公式转化为A，B到准线的距离之比，借助|BF|=2求出B点坐标，得到AB方程，代入抛物线方程，解出A点坐标，就可求出BN与AE的长度之比，得到所需问题的解．
解答：

解：∵抛物线方程为y²=2x，∴焦点F的坐标为（ $\text{[math]}$ ，0），准线方程为x=- $\text{[math]}$ 如图，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），过A，B分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为E，N，则，|BN|=x₁+ $\text{[math]}$ =x₁+ $\text{[math]}$ =2，∴x₁= $\text{[math]}$
把x₁= $\text{[math]}$ 代入抛物线y²=2x，得，y₁=- $\text{[math]}$ ，
∴直线AB过点 $\text{[math]}$ 与（ $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ）
方程为 $\text{[math]}$ x+（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）y-3=0，代入抛物线方程，解得，x₂=2
∴|AE|=2+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∵在△AEC中，BN∥AE，
∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
故答案为 $\text{[math]}$
点评：本题主要考查了抛物线的焦半径公式，侧重了学生的转化能力，以及计算能力．