Question

设抛物线y²=2x的焦点为F，过点M(

3

 ， 0)的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于C，|BF|=2，则△BCF与△ACF的面积之比

S△BCF

S△ACF

=

4

5

．

Answer 1

分析：利用三角形面积公式，可把△BCF与△ACF的面积之比转化为BC长与AC长的比，再根据抛物线的焦半径公式转化为A，B到准线的距离之比，借助|BF|=2求出B点坐标，得到AB方程，代入抛物线方程，解出A点坐标，就可求出BN与AE的长度之比，得到所需问题的解．

解答：解：∵抛物线方程为y²=2x，∴焦点F的坐标为（

1

2

，0），准线方程为x=-

1

2

如图，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），过A，B分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为E，N，则，|BN|=x₂+

p

2

=x₁+

1

2

=2，∴x₂=

3

2

把x₂=

3

2

代入抛物线y²=2x，得，y₂=-

3

，
∴直线AB过点M(

3

， 0)与（

3

2

，-

3

）
方程为

3

x+（

3

2

-

3

）y-3=0，代入抛物线方程，解得，x₁=2
∴|AE|=2+

1

2

=

5

2

，
∵在△AEC中，BN∥AE，
∴

|BC|

|AC|

=

|BN|

|AE|

=

2

5 2

=

4

5

，

S△BCF

S△ACF

=

1 2 |BC|•h

1 2 |AC|•h

=

4

5

故答案为

4

5

点评：本题主要考查了抛物线的焦半径公式，侧重了学生的转化能力，以及计算能力．