Question

【题目】如图甲，在直角梯形中，AB∥CD，AB⊥BC，CD=2AB=2BC=4，过A点作AE⊥CD，垂足为E，现将ΔADE沿AE折叠，使得DE⊥EC.取AD的中点F，连接BF，CF，EF，如图乙。

(1)求证:BC⊥平面DEC；

(2)求二面角C-BF-E的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）先证明DE⊥平面ABCE 可得DE⊥BC，结合BC⊥EC，可证BC⊥平面DEC；

（2）以点E为坐标原点，分别以EA，EC，ED为x，y，z轴建立空间坐标系E-xyz，求出平面EFB和平面BCF的一个法向量，接着代入公式，可求得二面角C-BF-E的余弦值.

(1)证明：如图，∵DE⊥EC，DE⊥AE，

∴DE⊥平面ABCE，

又∵BC平面ABCE，

∴DE⊥BC，

又∵BC⊥EC，DEEC=E，

∴BC⊥平面DEC.

(2)如图，以点E为坐标原点，分别以EA，EC，ED为x，y，z轴建立空间坐标系E-xyz，

∴E(0，0，0)，C(0，2，0)，B(2，2，0)，D(0，0，2)，A(2，0，0)，F(1，0，1)

设平面EFB的法向量

由，

所以有

∴取，得平面EFB的一个法向量

设平面BCF的法向量为

由，

所以有

∴取，得平面BCF的一个法向量

设二面角C-BF-E的大小为

则.