Question

【题目】已知函数有两个极值点.

（Ⅰ）求的取值范围；

（Ⅱ）设，是的两个极值点，证明：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）证明见解析

【解析】

（Ⅰ）函数有两个极值点等价于在上有两个变号零点，再次求导，利用函数单调性，便可求出参数a的取值范围。

（Ⅱ）令，并化简求导，再利用单调性证明。

解：（Ⅰ）由，，得.

函数有两个极值点等价于在上有两个变号零点，

等价于在上有两个变号零点.

令，则.

所以时，，单调递增；

时，，单调递减，所以.

当时，恒成立，在上单调递减，不可能有两个极值点，舍去；

当时，，，，，而，

由零点存在性定理得在和内分别存在一个变号零点，

此时有两个极值点.

综上，所求的取值范围为.

（Ⅱ）因为，是的两个极值点，所以，且.

由（Ⅰ）知，.

令，.

则，

由在恒成立，得时，，单调递减.

又，所以时，，即.

所以，所以.由（Ⅰ）知在单调递减，

所以，即.所以，即，

因为，所以，，所以.

即.