Question

【题目】椭圆两焦点分别为、，且离心率；

（1）设E是直线与椭圆的一个交点，求取最小值时椭圆的方程；

（2）已知，是否存在斜率为k的直线l与（1）中的椭圆交于不同的两点A、B，使得点N在线段AB的垂直平分线上，若存在，求出直线l在y轴上截距的范围；若不存在，说明理由。

Answer 1

【答案】（1）.（2）存在，见解析

【解析】

（1）由于，，椭圆方程可化为与直线方程联立，消去化简得：，又由，解得，

此时，当且仅当时取等号，此时取最小值．即可得到椭圆方程．

（2）设直线l的方程为，代入椭圆方程可得到一元二次方程，即根与系数的关系，利用中点坐标公式可得线段的中点坐标公式，利用可得与的关系，结合进而得出的取值范围．当时，容易得出．

解:（1），椭圆方程可化为，与联立，

消去y化简得，

又由，解得，

此时，当且仅当时，取最小值，

所以椭圆方程为.

（2）设直线l的方程为，代入，消去y整理得：

∵直线与椭圆交与不同的两点，

，

即，设，

，，

则AB中点

所以当时，，

化简得，代入得；

又，所以，故；

当时，，

综上，时，；时，.