Question

如图，平行六面体ABCD－A'B'C'D'中，AC＝2，BC＝AA'＝A'C＝2，∠ABC＝90°，点O是点A'在底面ABCD上的射影，且点O恰好落在AC上.

（1）求侧棱AA'与底面ABCD所成角的大小；

（2）求侧面A'ADD'底面ABCD所成二面角的正切值；

（3）求四棱锥C－A'ADD'的体积.

Answer 1

（1）45°（2）（3）

解析:

（I）连，则平面于                          ……1分（文1分）

∴就是侧棱与底面所成的角                  ……1分（文2分）

                             

在中，

 

∴是等腰直角三角形                                                     

∴，即侧棱与底面所成角为45°，

   （II）在等腰中，，∴，且O为AC中点，

过O作于E，连。∵平面ABCD于O，

由三垂线定理，知，                                                

∴∠是侧面与底面ABCD所成二面角的平面角。

∵∠ABC=，，∴底面ABCD是正方形。

∴。

在中，。

即所求二面角的正切值为。                                                 

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，。

∴。                                                 

∵，∴。

∵，∴平面，它们的交线是。

过O作，则。

。                                           

又∵的中点，∴点C到平面的距离。

∴。