Question

如图，平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，AD=1，底面ABCD是矩形，顶点D₁在底面ABCD上的射影O恰好是CD的中点．
（I）求证：BO⊥AD₁；
（II）若二面角D₁-AB-D的大小为60°，求AD₁与底面ABCD所成的角．

Answer 1

分析：（I）由顶点D₁在底面ABCD上的射影O是CD的中点，我们根据线面垂直的性质，易得OD₁⊥OB，又根据等腰三角形三线合一的性质，可得OB⊥OA，进而由线面垂直的性质得到BO⊥平面D₁AO，从而BO⊥AD₁；
（II）由（I）知D₁O⊥底面ABCD，连接AO，则∠D₁AO为AD₁与底面ABCD所成的角，过O作OH⊥AB，连接D₁H，则D₁H⊥AB，则∠D₁HO=60°，在直角△D₁HO中，利用tan∠D1AO=

D1O

AO

，可求AD₁与底面ABCD所成的角．

解答：证明：（I））∵D₁在平面ABCD上的射影为O，
∴OD₁⊥平面ABCD，
∴OD₁⊥OB
∵点O为DC的中点，DC=2，
∴OC=1，
又∵BC=1，∠DCB=90°，
∴OB⊥OA
∵D₁O∩AO=O，
∴OB⊥平面D₁AO
∵AD₁?平面D₁AO
∴BO⊥AD₁；
（II）由（I）知D₁O⊥底面ABCD，连接AO，则∠D₁AO为AD₁与底面ABCD所成的角
过O作OH⊥AB，连接D₁H，则D₁H⊥AB
∴∠D₁HO为二面角D₁-AB-D的平面角，即∠D₁HO=60°
因为底面是矩形，O是CD的中点
所以OH=AD=1
在直角△D₁OH中，DO=OH•tan∠D1HO=

3

在直角△AOH中，AO=

OH2+AH2

=

2

故在直角△D₁HO中，tan∠D1AO=

D1O

AO

=

6

2

∴AD₁与底面ABCD所成的角为arctan

6

2

点评：本题以平行六面体为载体，考查线面垂直，考查线线垂直，同时考查线面角，线线角，解题的关键是正确运用线面垂直的判定与性质，正确作出面面角，线面角．