Question

1．已知任意一个正整数的三次幂均可表示成一些连续奇数的和，如图所示，3³可以表示为7+9+11，我们把7，9，11叫做3³的“质数因子”，若n³的一个“质数因子”为2013，则n为（　　）

• A． 43
• B． 44
• C． 45
• D． 46

Answer 1

分析 由题意和等差数列的前n项和公式，求出前n个正整数的三次幂的“数因子”的个数是$\frac{n（n+1）}{2}$，再判断出2015是第1008个奇数，再由条件和特值法判断出2015应是45³的一个“数因子”．

解答 解：由题意知，n³可表示为n个连续奇数的和，且所有正整数的“数因子”都是按照从小到大的顺序排列的，
所以前n个正整数的三次幂的“数因子”共有1+2+3+…+n=$\frac{n（n+1）}{2}$个，
因为2015=2×1008-1，故2015是第1008个奇数，
而$\frac{44×45}{2}$=990＜1008，$\frac{45×46}{2}$=1035＞1008，
所以44³的最大“数因子”是第990个奇数，45³的最大“数因子”是第1035个奇数，
故第1008个奇数：2015应是45³的一个“数因子”，
故选：C．

点评 本题考查了新定义的应用，归纳推理，等差数列的前n项和公式，难点在于发现其中的规律，考查观察、分析、归纳能力．