Question

18．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它过点（0，1），离心率为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过椭圆C的左焦点F作直线l交椭圆C于G，H两点，交y轴于点M，若$\overrightarrow{MG}=m\overrightarrow{FG}$，$\overrightarrow{MH}$=n$\overrightarrow{FH}$，判断m+n是否为定值，若为定值，请求出该定值，若不是请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由椭圆过点（0，1），离心率为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，列出方程组求出a=$\sqrt{5}$，b=1，c=2，由此能求出椭圆C的标准方程．
（2）求出椭圆C的右焦点F（2，0），设直线l的方程为y=k（x+2），代入方程$\frac{{x}^{2}}{5}$+y²=1，得（1+5k²）x²+20k²x+20k²-5=0，由此利用韦达定理、向量，结合已知条件能求出m+n的值．

解答 解：（1）∵椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它过点（0，1），离心率为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{\frac{c}{a}=\frac{2\sqrt{5}}{5}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=$\sqrt{5}$，b=1，c=2，
∴椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{5}$+y²=1．
（2）由（1）得椭圆C的右焦点F（2，0），
设G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），M（0，y₀），
由题意得直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x+2），代入方程$\frac{{x}^{2}}{5}$+y²=1，
得（1+5k²）x²+20k²x+20k²-5=0．
∴x₁+x₂=-$\frac{20{k}^{2}}{1+5{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{20{k}^{2}-5}{1+5{k}^{2}}$．
又$\overrightarrow{MG}$=（x₁，y₁-y₀），$\overrightarrow{MH}$=（x₂，y₂-y₀），$\overrightarrow{FG}$=（x₁-2，y₁），$\overrightarrow{FH}$=（x₂-2，y₂）．
$\overrightarrow{MG}=m\overrightarrow{FG}$$\overrightarrow{MH}=n\overrightarrow{FH}$，
∴m=$\frac{x_1}{{{x_1}+2}}$，n=$\frac{x_2}{{{x_2}+2}}$，
∴m+n=$\frac{x_1}{{{x_1}+2}}$+$\frac{x_2}{{{x_2}+2}}$=$\frac{{2{x_1}{x_2}+2（{x_1}+{x_2}）}}{{{x_1}{x_2}+2（{x_1}+{x_2}）+4}}=\frac{{2（\frac{{20{k^2}-5}}{{1+5{k^2}}}）+\frac{{2（-20{k^2}）}}{{1+5{k^2}}}}}{{\frac{{20{k^2}-5}}{{1+5{k^2}}}+\frac{{2（-20{k^2}）}}{{1+5{k^2}}}+4}}$，
=$\frac{{2（20{k^2}-5）+2（-20{k^2}）}}{{（20{k^2}-5）+2（-20{k^2}）+4（1+5{k^2}）}}=10$，
∴m+n=10．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查m+n是否为定值的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、向量、椭圆性质的合理运用．