题目内容

10．（文科）如图所示的封闭曲线C由曲线C1：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0，y≥0）和曲线C2：x2+y2=r2（y＜0）组成，已知曲线C1过点（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$），离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，点A、B分别为曲线C与x轴、y轴的一个交点．
（Ⅰ）求曲线C1和C2的方程；
（Ⅱ）若点Q是曲线C2上的任意点，求△QAB面积的最大值；
（Ⅲ）若点F为曲线C1的右焦点，直线l：y=kx+m与曲线C1相切于点M，与x轴交于点N，直线OM与直线x=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$交于点P，求证：MF∥PN．

分析 （I）曲线C1过点（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$），离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，可得$\frac{3}{{a}^{2}}+\frac{1}{4{b}^{2}}$=1，$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，又a2=b2+c2，联立解得a，b，可得曲线C1的方程．可得A，点A在曲线C2上，可得r．
（II）A（-2，0），B（0，1），利用截距式可得直线AB的方程．由题意可知：当曲线C2在点Q处的切线与直线AB平行时，△QAB的面积最大，设切线方程为：x-2y+t=0，由直线与圆相切的性质可得t．利用平行线之间的距离公式可得△QAB的AB边上的高h，即可得出S△QAB的最大值=$\frac{1}{2}$|AB|h．
（III）由题意可得：k≠0，F$（\sqrt{3}，0）$，N$（-\frac{m}{k}，0）$．设M（x0，y0），直线方程与椭圆方程联立化为：（1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0，又直线l与曲线C1相切于点M，可得△=0，即m2=4k2+1．利用根与系数的关系可得M，kOM，点P的坐标．可得$\overrightarrow{FM}$=λ$\overrightarrow{NP}$，即可证明MF∥PN．

解答 （I）解：∵曲线C1过点（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$），离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{3}{{a}^{2}}+\frac{1}{4{b}^{2}}$=1，$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，又a2=b2+c2，联立解得a=2，b=1，
可得曲线C1的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y2=1，（y≥0）．
可得A（-2，0），∵点A在曲线C2上，∴r=2，可得方程：x2+y2=4（y＜0）．
（II）解：A（-2，0），B（0，1），可得直线AB的方程：$\frac{x}{-2}+\frac{y}{1}$=1，化为：x-2y+2=0．
由题意可知：当曲线C2在点Q处的切线与直线AB平行时，△QAB的面积最大，
设切线方程为：x-2y+t=0，由直线圆相切的性质可得：$\frac{|t|}{\sqrt{5}}$=2，由可知t＜0，解得t=-2$\sqrt{5}$．
此时△QAB的AB边上的高h=$\frac{|2-（-2\sqrt{5}）|}{\sqrt{5}}$=2+$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
∴S△QAB的最大值=$\frac{1}{2}$|AB|h=$\frac{1}{2}×\sqrt{5}$×$（2+\frac{2\sqrt{5}}{5}）$=$\sqrt{5}$+1，∴△QAB面积的最大值为$\sqrt{5}$+1．
（III）证明：由题意可得：k≠0，F$（\sqrt{3}，0）$，N$（-\frac{m}{k}，0）$．
设切点M（x0，y0），由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，化为：（1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0，
又直线l与曲线C1相切于点M，∴△=（8km）2-4（1+4k2）（4m2-4）=0，即m2=4k2+1．
x0=$\frac{1}{2}×$$（-\frac{8km}{1+4{k}^{2}}）$=-$\frac{4km}{1+4{k}^{2}}$，y0=kx0+m=$\frac{m}{1+4{k}^{2}}$，
∴M$（-\frac{4km}{1+4{k}^{2}}，\frac{m}{1+4{k}^{2}}）$，即M$（-\frac{4k}{m}，\frac{1}{m}）$．∴kOM=-$\frac{1}{4k}$．
∴$P（\frac{4\sqrt{3}}{3}，-\frac{\sqrt{3}}{3k}）$，
∴$\overrightarrow{FM}$=$（-\frac{4k}{m}-\sqrt{3}，\frac{1}{m}）$=$\frac{1}{m}$$（-4k-\sqrt{3}m，1）$，$\overrightarrow{NP}$=$（\frac{m}{k}+\frac{4\sqrt{3}}{3}，-\frac{\sqrt{3}}{3k}）$=-$\frac{\sqrt{3}}{3k}$$（-4k-\sqrt{3}m，1）$，
∴$\overrightarrow{FM}$=-$\frac{\sqrt{3}k}{m}$$\overrightarrow{NP}$，∴MF∥PN．

点评 本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与圆相切问题、直线相交问题、三角形面积计算公式、平行线之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

练习册系列答案
相关题目
14．rn，n是不同的直线，α，β是不重合的平面，下列说法正确的是（　　）
A．若α∥β，m?α，n?β，则m∥n
B．若m，n?α，m∥β，n∥β，则α∥β
C．m，n是异面直线，若m∥α，m∥β，n∥β，则α∥β
D．若α∥β，m∥α，则m∥β
1．已知动点P与点A（-$\sqrt{3}$，0）和点B（$\sqrt{3}$，0）连接的斜率之积为-$\frac{2}{3}$，点P的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）Q为曲线C上位于x轴上方的动点，直线AQ、BQ分别交直线y=$\sqrt{3}$于点M，N，求△QMN面积的最小值；
（3）若直线l：mx+y+1=0与曲线C交于D、F两点，是否存在实数m，使|$\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OF}$|=|$\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OF}$|成立？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．
18．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它过点（0，1），离心率为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过椭圆C的左焦点F作直线l交椭圆C于G，H两点，交y轴于点M，若$\overrightarrow{MG}=m\overrightarrow{FG}$，$\overrightarrow{MH}$=n$\overrightarrow{FH}$，判断m+n是否为定值，若为定值，请求出该定值，若不是请说明理由．
5．设椭圆中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，椭圆上一点P到两焦点的距离之和等于$\sqrt{6}$．
（1）求椭圆方程；
（2）若直线x+y+m=0交椭圆于A、B两点，且OA⊥OB，求实数m的值．
15．已知函数f（x）=$\frac{4x}{2+x}$，数列{an}满足a1=f（1），an+1=f（an）．
（1）求证：数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{2}$}是等比数列；
（2）不等式$\frac{2}{{a}_{1}}$+$\frac{{2}^{2}}{{a}_{2}}$+…+$\frac{{2}^{n}}{{a}_{n}}$≥t+$\frac{n}{2}$，n∈N*恒成立，求实数t的取值范围．
2．在三棱锥P-ABC中，已知PA⊥底面ABC，AB⊥BC，E，F分别是线段PB，PC上的动点．则下列说法错误的是（　　）
A．当AE⊥PB时，△AEF-定为直角三角形
B．当AF⊥PC时，△AEF-定为直角三角形
C．当EF∥平面ABC时，△AEF-定为直角三角形
D．当PC⊥平面AEF时，△AEF-定为直角三角形
19．直线3x+4y+1=0与圆x2+y2-x+y=0相交于A、B，则AB的长度是$\frac{7}{5}$．
20．在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=5，AC=8（如图）．如果点E在对角线AC上，且DE=4．
（1）求AE的长；
（2）设$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{DE}$=$\overrightarrow{c}$，试用向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$、$\overrightarrow{c}$表示下列向量：$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{AE}$．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网