Question

13．平面内有两个定点A（1，0），B（1，-2），设点P到A的距离为d₁，到B的距离为d₂，且$\frac{d_1}{d_2}=\sqrt{2}$．
（1）求点P的轨迹C的方程；
（2）点M（0，1）与点N关于直线x-y=0对称，问：是否存在过点N的直线l，l与轨迹C相交于E、F两点，且使三角形${S_{△OEF}}=2\sqrt{2}$（O为坐标原点）？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设P（x，y），利用两点间距离公式能求出点P的轨迹C的方程．
（2）求出N（1，0），当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=1，不成立；当直线l的斜率成立时，设直线l的方程为y=k（x-1），联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{x}^{2}+{y}^{2}-2x+8y+9=0}\end{array}\right.$，得（1+k²）x²-（2k²-8k+2）x+k²-8k+9=0，由此利用根的判别式、点到直线的距离公式、弦长公式能求出存在过点N的直线l，l与轨迹C相交于E、F两点，且使三角形${S_{△OEF}}=2\sqrt{2}$．

解答 解：（1）设P（x，y），
则${d}_{1}=\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$，d₂=$\sqrt{（{x}_{\;}-1）^{2}+（y+2）^{2}}$，
∵$\frac{d_1}{d_2}=\sqrt{2}$，
∴$\frac{\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}}{\sqrt{（x-1）^{2}+（y+2）^{2}}}$=$\sqrt{2}$，
整理，得：x²+y²-2x+8y+9=0．
∴点P的轨迹C的方程为x²+y²-2x+8y+9=0．
（2）不存在过点N的直线l，l与轨迹C相交于E、F两点，且使三角形${S_{△OEF}}=2\sqrt{2}$．
理由如下：
∵点M（0，1）与点N关于直线x-y=0对称，∴N（1，0），
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=1，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{{x}^{2}+{y}^{2}-2x+8y+9=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=-2-2\sqrt{2}}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=-2+2\sqrt{2}}\end{array}\right.$，
此时S_△OEF=$\frac{1}{2}×1×4\sqrt{2}=2\sqrt{2}$，成立；
当直线l的斜率成立时，设直线l的方程为y=k（x-1），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{x}^{2}+{y}^{2}-2x+8y+9=0}\end{array}\right.$，得（1+k²）x²-（2k²-8k+2）x+k²-8k+9=0，
△＞0，设E（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{2{k}^{2}-8k+2}{1+{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{{k}^{2}-8k+9}{1+{k}^{2}}$，
点O到直线y=k（x-1）的距离d=$\frac{|-k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{|k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
|EF|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（\frac{2{k}^{2}-8k+2}{1+{k}^{2}}）^{2}-4×\frac{{k}^{2}-8k+9}{1+{k}^{2}}]}$=$\sqrt{\frac{32{k}^{2}-32}{1+{k}^{2}}}$，
∵${S_{△OEF}}=2\sqrt{2}$，
∴S_△OEF=$\frac{1}{2}×|EF|×d$=$\frac{1}{2}×$$\sqrt{\frac{32{k}^{2}-32}{1+{k}^{2}}}$×$\frac{|k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2$\sqrt{2}$，
整理，得3k²=-1，不成立，
综上，存在过点N的直线l：x=1，l与轨迹C相交于E、F两点，且使三角形${S_{△OEF}}=2\sqrt{2}$．

点评 本题考查两点距离公式的求法，考查满足条件的直线是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、点到直线的距离公式、弦长公式的合理运用．