Question

8．若函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{6^x}-m，\begin{array}{l}{x＜1}\end{array}\\{x^2}-3mx+2{m^2}，x≥1\end{array}$恰有2个零点，则实数m的取值范围是[$\frac{1}{2}$，1）∪[6，+∞）．

Answer 1

分析 ①当m≤0时，f（x）＞0恒成立，②当m＞0时，由6^x-m=0讨论，再由x²-3mx+2m²=（x-m）（x-2m）讨论，从而确定方程的根的个数．

解答 解：①当m≤0时，f（x）＞0恒成立，
故函数f（x）没有零点；
②当m＞0时，6^x-m=0，
解得，x=log₆m，
又∵x＜1；
∴当m∈（0，6）时，log₆m＜1，
故6^x-m=0有解x=log₆m；
当m∈[6，+∞）时，log₆m≥1，
故6^x-m=0在（-∞，1）上无解；
∵x²-3mx+2m²=（x-m）（x-2m），
∴当m∈（0，$\frac{1}{2}$）时，
方程x²-3mx+2m²=0在[1，+∞）上无解；
当m∈[$\frac{1}{2}$，1）时，
方程x²-3mx+2m²=0在[1，+∞）上有且仅有一个解；
当m∈[1，+∞）时，
方程x²-3mx+2m²=0在[1，+∞）上有且仅有两个解；
综上所述，
当m∈[$\frac{1}{2}$，1）或m∈[6，+∞）时，
函数f（x）=f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{6^x}-m，\begin{array}{l}{x＜1}\end{array}\\{x^2}-3mx+2{m^2}，x≥1\end{array}$恰有2个零点，
故答案为：[$\frac{1}{2}$，1）∪[6，+∞）．

点评 本题考查了分段函数的性质的应用及分类讨论的思想应用．