Question

2．某种放射性元素的原子数N随时间t的变化规律是N=N₀e^-λt，其中N₀，λ是正的常数．
（1）说明函数是增函数还是减函数；
（2）把t表示为原子数N的函数；
（3）当N=$\frac{{N}_{0}}{2}$时，求t的值．

Answer 1

分析 （1）根据N=N₀e^-λt =$\frac{{N}_{0}}{{e}^{λt}}$，可得函数N是减函数．
（2）利用指数式与对数式的互化，可以把t表示为原子数N的函数．
（3）当N=$\frac{{N}_{0}}{2}$时，有 e^-λt =$\frac{1}{2}$，即-λt=ln$\frac{1}{2}$=-ln2，从而求得t的值．

解答 解：（1）∵N=N₀e^-λt，其中N₀，λ是正的常数，
∴N=N₀e^-λt =$\frac{{N}_{0}}{{e}^{λt}}$，当t增大时，N减小，
故函数N是减函数．
（2）∵N=N₀e^-λt，∴$\frac{N}{{N}_{0}}$=e^-λt，∴-λt=ln$\frac{N}{{N}_{0}}$，∴t=$\frac{ln\frac{N}{{N}_{0}}}{-λ}$．
（3）当N=$\frac{{N}_{0}}{2}$时，有e^-λt =$\frac{1}{2}$，∴-λt=ln$\frac{1}{2}$=-ln2，t=$\frac{1}{-λ}$•（-ln2）=$\frac{ln2}{λ}$．

点评 本题主要考查函数的单调性的判断，指数式与对数式的互化，求函数的解析式，属于中档题．